随时间变化的指数移动平均线
我有一个连续的值，我想计算一个指数移动平均线 。 通常我只是使用这个标准公式：
- S n =αY+（1-α）S n-1
其中S n是新的平均值，α是α，Y是样本，S n-1是以前的平均值。
不幸的是，由于各种问题，我没有一个一致的采样时间。 我可能知道最多可以抽样一次，也就是每毫秒一次，但是由于我不能控制的因素，我可能无法一次抽样数毫秒。 然而，可能更常见的情况是，我简单地抽样了一些早或晚，而不是在0,1和2毫秒采样。 我在0，0.9和2.1毫秒采样。 我预料到，不pipe延迟如何，我的采样频率将远远高于奈奎斯特极限，因此我不必担心锯齿。
我认为，我可以根据自上次采样以来的时间长度，通过适当地改变阿尔法来或多或less地合理地处理这个问题。
我的推理的部分原因是，EMA在前一个数据点和当前数据点之间“线性插入”。 如果我们考虑以间隔t计算以下样本列表的EMA：[0,1,2,3,4]。 如果我们使用间隔2t，input变成[0,2,4]，那么我们应该得到相同的结果，对吗？ 如果EMA假设在t 2时刻t 2时刻的值为2，那么和在[0,2,2,4,4]上计算的时间间隔t的计算方法是一样的。 或者这是否有意义呢？
有人能告诉我如何适当地改变阿尔法？ “请展示你的工作。” 也就是说，告诉我mathcertificate你的方法确实是做正确的事情。
这个答案基于我对低通滤波器的理解（“指数移动平均值”实际上只是一个单极点低通滤波器），但是我对你正在寻找的东西有朦胧的理解。 我想以下是你想要的：
首先，你可以简化你的方程（看起来更复杂，但代码更容易）。 我将使用“Y”作为输出，“X”使用input（而不是S输出，Yinput）。
Y n =αX+（1-α）Y n-1 →Y n = Y n-1 +α（X-Y n-1 ）
其编码为：
Y += alpha * (XY); 其次，此处的α的值与1-e-Δt /τ相等，其中Δt是样本之间的时间，τ是低通滤波器的时间常数。 因为当Δt/τ小于1，并且α= 1-e-Δt/ τ≈Δt/τ ，所以在引号中“相等”。 （但是不要太小：你会遇到量化问题，除非你采用一些奇特的技术，否则通常需要在状态variablesS中额外的N位分辨率，其中N = -log 2 （α）。）对于较大Δt/τ的值，过滤效果开始消失，直到你接近α的点，而你基本上只是把input分配给输出。
这应该适用于不同的Δt值（只要alpha很小，Δt的变化就不是很重要，否则你会遇到一些相当奇怪的奈奎斯特问题/别名/等等），如果你在处理器上工作乘法比分割更便宜，或者定点问题很重要，可以预先计算ω= 1 /τ，并考虑尝试近似于α的公式。
如果你真的想知道如何导出公式
α= 1-e- Δt/τ
那么考虑它的微分方程来源：
Y +τdY / dt = X
当X是一个单位阶梯函数时，它有解Y = 1-e -t /τ 。 对于Δt的小值，导数可以近似为ΔY/Δt，从而产生
Y +τΔY/Δt= X
ΔY/Δt=（XY）/τ
ΔY=（XY）（Δt/τ）=α（XY）
并且α= 1-e- Δt/τ的“外推”来自于试图使行为与单位阶跃函数情况匹配。
看看这里： http : //www.eckner.com/research.html
看看第二个链接：“”非均匀时间序列的algorithm：移动平均线和其他滚动操作符“
这个文档描述了你所需要的编程algorithm，我想。
这不是一个完整的答案，但可能是一个开始。 就在我玩了一个小时左右的时间， 我把它作为我正在寻找的一个例子发布，也许是其他人在这个问题上的启发。
我从S 0开始，S 0是从先前的平均值S -1得到的平均值，以及在t 0得到的样本Y 0 。 （t 1 – t 0 ）是我的样本间隔，α被设置为适合于那个样本间隔和我希望平均的周期。
我考虑过如果我在t 1错过了样本，而不得不在t 2时取样Y 2，会发生什么？ 那么，我们可以开始扩展方程，看看如果我们有Y 1 ：
- S 2 =αY2 +（1-α）S 1 ，其中S 1 =αY1 +（1-α）S 0
代：
- S 2 =αY2 +（1-α）（αY1 +（1-α）S 0 ）
- S 2 =αY2 +（1-α）αY1 +（1-α）（1-α）S 0
- S 2 =αY2 +（1-α）αY1 +（1-α） 2 S 0
我注意到这个系列似乎是无限地延伸的，因为我们可以无限期地在右边replaceS n ：
- S 2 =αY2 +（1-α）αY1 +（1-α） 2 （αY0 +（1-α）S -1 ）
- S 2 =αY2 +（1-α）αY1 +（1-α）2αY0 +（1-α） 3 S -1
- 等等
好吧，这不是一个多项式（愚蠢的我），但如果我们乘以一个初始项，然后我们看到一个模式：
- S 2 =（1-α）0αY2 +（1-α）αY1 +（1-α）2αY0 +（1-α） 3 S -1
嗯：这是一个指数级数。 Quelle惊喜！ 想象一下，出现指数移动平均的方程！
所以无论如何，我有这个x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + …事情正在进行，而且我确定我在这里嗅到一个自然的对数，但是我不记得我在哪里在我耗尽时间之前，我正在前进。
对这个问题的任何答案，或者这个答案的任何正确性的certificate，都很大程度上取决于你所测量的数据。
如果你的样本是在t 0 = 0ms，t 1 = 0.9ms和t 2 = 2.1ms，但是你selectα是基于1ms间隔的，所以你需要一个局部调整的αn，select的正确性意味着知道t = 1ms和t = 2ms的采样值。
这导致了一个问题：你能否合理地插入你的数据来理解中间值可能是什么？ 或者你甚至可以插入平均本身？
如果这两者都不可能，则就我所知，中间值Y（t）的逻辑select是最近计算的平均值 ，即Y（t）≈Sn，其中n是最大值，使得t n <t。
这个select有一个简单的结果：不pipe时差是什么，都留下α。
另一方面，如果有可能插值你的值，那么这将给你一个平稳的时间间隔样本。 最后，如果甚至有可能自己插入平均值，那将会使问题变得毫无意义。
通过使用一个略微不同的α（等于（1-α）中的问题 ），将一个新的值Y加到现有的S 0平均值上的基本公式如下：
S（Y，S 0 ）=
（1-α）Y +αS0 =
Y – αY+αS0 =
Y +α（S 0 -Y）
如果我们现在加上时间间隔t的长度，并假设α只取决于t，那么公式看起来像这样：
S（Y，t，S 0 ）= Y +αt（S 0 -Y）
现在假设t = t 1 + t 2 。 如果通过在时间间隔t 1和t 2上添加两个Y值来创build平均值，则所得的平均值如下所示：
S（Y，t 2 ，S（Y，t 1 ，S 0 ））=
Y +αt 2 （S（Y，t 1 ，S 0 ）-Y）=
Y +αt 2 （（Y +αt 1 （S 0 -Y）） – Y）=
Y +αt 2αt 1 （S 0 -Y）
如果这个平均值应该与整个t时间间隔相同，那么αt =αt 1αt 2 。 满足这个要求的α的定义是：
αx ：= A x （对于某个常数A）
因为：
αt = A t = A t 1 + t 2 = A t 1 A t 2 =αt 1αt 2
这导致以下平均function：
S（Y，t，S 0 ）= Y + A t （S 0 -Y）
我没有真正testing过，但是如果我所做的假设符合你的情况，这看起来像一个平均函数，可以很好地处理采样间隔的变化。
假设我们想在连续函数上做一个指数衰减平均值。 但是，我们没有这个函数的所有值，只有几个样本。 这个公式将会对我们所拥有的样本进行加权平均，以及它们在连续平均值中的权重。
乘数n = Alpha 时间n –时间n-1
Sum n = Val n + Sum n-1 *乘数n
计数n = 1 +计数n-1 *乘数n
Avg n = Sum n / Count n
我将只保留alpha值，并填写缺失的数据。
由于您不知道在无法采样期间会发生什么情况，因此可以用0填充这些采样，或者保持以前的值稳定，并将这些值用于EMA。 或者一旦你有一个新的样本一些后向插值，填写缺失的值，并重新计算EMA。
我试图得到的是你有一个inputx[n]有漏洞。 没有办法绕过你缺less数据的事实。 因此，可以使用零阶保持，或将其设置为零，或者在x[n]和x[n+M]之间进行某种插值，其中M是缺失样本的数量，n是间隙的起点。 可能甚至使用n之前的值。
这与我待办事项列表上的一个开放问题类似。 我有一个计划在一定程度上解决了，但还没有math工作来支持这个build议。
更新和总结：希望保持平滑因子（alpha）独立于补偿因子（我在此称为beta）。 杰森杰出的答案在这里已经被接受，对我来说很好。
第一步。
- 如果您还可以测量自上次采样以来的时间（以恒定采样时间的四舍五入为单位，因此最后一个采样为7.8个单位），这可以用于平滑多次。 在这种情况下应用公式8次。 你已经有效地做了一个平滑的偏向更多的当前价值。
第二步。
- 为了得到更好的平滑，我们需要调整阿尔法，而在前面的情况下应用公式8次。
这个平滑近似会丢失什么？
- 在上面的例子中已经错过了7个样本
- 这在步骤1中被近似为平坦的重新施加当前值另外7次
- 如果我们定义一个近似因子beta ，它将与alpha一起使用（如alpha * beta，而不仅仅是alpha），我们将假设7个错过的样本在先前样本值和当前样本值之间平稳地变化。
