为什么浮点数不准确？
为什么有些数字在作为浮点数存储时会失去准确性？
例如，十进制数9.2可以精确地表示为两个十进制整数（ 92/10 ）的比率，二者都可以精确地以二进制表示（ 0b1011100/0b1010 ）。 但是，存储为浮点数的相同比率绝不等于9.2 ：
32-bit "single precision" float: 9.19999980926513671875 64-bit "double precision" float: 9.199999999999999289457264239899814128875732421875
这样一个明显简单的数字如何能够在64位内存中“太大”expression？
在大多数编程语言中，浮点数很像科学记数法 ：用指数和尾数（也称为有效数）表示。 一个非常简单的数字，比如9.2 ，实际上是这个分数：
5179139571476070 * 2 -49
指数为-49 ，尾数为5179139571476070 。 不可能用这种方式表示一些小数的原因是指数和尾数都是整数。 换句话说，所有的浮点数必须是乘以2的整数次幂的整数 。
9.2可以简单地为92/10 ，但是如果n被限制为整数值，则10不能被expression为2 n 。
查看数据
首先， 看一些32位和64位float组件的函数。 如果你只关心输出（Python中的示例）
def float_to_bin_parts(number, bits=64): if bits == 32: # single precision int_pack = 'I' float_pack = 'f' exponent_bits = 8 mantissa_bits = 23 exponent_bias = 127 elif bits == 64: # double precision. all python floats are this int_pack = 'Q' float_pack = 'd' exponent_bits = 11 mantissa_bits = 52 exponent_bias = 1023 else: raise ValueError, 'bits argument must be 32 or 64' bin_iter = iter(bin(struct.unpack(int_pack, struct.pack(float_pack, number))[0])[2:].rjust(bits, '0')) return [''.join(islice(bin_iter, x)) for x in (1, exponent_bits, mantissa_bits)]
这个函数背后有很多复杂的东西，它可以解释的相切，但是如果你感兴趣的话，我们的目的的重要资源是结构模块。
Python的float是一个64位的双精度数字。 在诸如C，C ++，Java和C＃等其他语言中，双精度有一个单独的typesdouble ，通常实现为64位。
当我们用我们的例子9.2来调用这个函数时，我们得到：
>>> float_to_bin_parts(9.2) ['0', '10000000010', '0010011001100110011001100110011001100110011001100110']
解释数据
你会看到我已经将返回值分成三个组件。 这些组件是：
- 标志
- 指数
- 尾数（也称为重要或分数）
标志
该符号作为单个位存储在第一个组件中。 这很容易解释： 0表示浮动是一个正数; 1意味着它是负面的。 由于9.2是正的，我们的符号值是0 。
指数
指数存储在中间组件中，为11位。 在我们的情况下， 0b10000000010 。 在十进制中，表示值1026 。 这个组件的怪癖是你必须减去一个等于2 （＃位数） – 1 – 1的数来得到真正的指数; 在我们的情况下，这意味着减去0b1111111111 （十进制数1023 ）得到真正的指数， 0b00000000011 （十进制数3）。
尾数
尾数作为52位存储在第三个组件中。 但是，这个组件也有一个怪癖。 要理解这个怪癖，考虑一个科学记数法，如下所示：
6.0221413×10 23
尾数是6.0221413 。 回想一下，科学记数法中的尾数总是以一个非零数字开始。 对于二进制也是如此，除了二进制只有两个数字： 0和1 。 所以二进制尾数总是以1开头！ 当存储一个浮点数时，二进制尾数前面的1被省略以节省空间; 我们必须把它放回到第三个元素的前面来得到真正的尾数：
1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110
这不仅仅是一个简单的加法，因为存储在第三个组件中的位实际上代表尾数的小数部分，在小数点的右边。
当处理十进制数时，我们通过乘以或除以10的幂来“移动小数点”。在二进制中，我们可以通过乘以或除以2的幂来做同样的事情。因为我们的第三元素具有52位，它通过2 52把它移动到右边的52个地方：
0.0010011001100110011001100110011001100110011001100110
在十进制表示法中，这与将675539944105574除以4503599627370496以得到0.1499999999999999 。 （这是一个比例的一个例子，可以精确地用二进制表示，但只能用十进制表示;更多细节请参见： 675539944105574/4503599627370496 。）
现在我们已经将第三个分量转换成分数了，加1就是真正的尾数。
回收组件
- 符号（第一部分）：
0表示正数，1表示负数 - 指数（中间分量）：减2 （＃位数） – 1 – 1得到真正的指数
- 尾数（最后一个分量）：除以2 （位数）并加
1得到真正的尾数
计算数字
把所有三个部分放在一起，我们得到这个二进制数：
1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 10 11
然后我们可以从二进制转换为十进制：
1.1499999999999999 x 2 3 （不精确！）
然后乘以以浮点值forms存储起始数（ 9.2 ）的最终表示forms：
9.1999999999999993
表示为一个分数
9.2
现在我们已经build立了这个数字，可以把它重构成一个简单的部分：
1.0010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 10 11
将尾数转换为整数：
10010011001100110011001100110011001100110011001100110 x 10 11-110100
转换为十进制：
5179139571476070 x 2 3-52
减指数：
5179139571476070 x 2 -49
将负指数转化为除法：
5179139571476070/2 49
乘法指数：
5179139571476070/562949953421312
等于：
9.1999999999999993
9.5
>>> float_to_bin_parts(9.5) ['0', '10000000010', '0011000000000000000000000000000000000000000000000000']
你已经可以看到尾数只有4位数，后面跟着大量的零。 但是，让我们通过步伐。
汇编二进制科学记数法：
1.0011×10 11
移动小数点：
10011×10 11-100
减指数：
10011×10 -1
二进制到十进制：
19×2 -1
分裂的负指数：
19/2 1
乘法指数：
19/2
等于：
9.5
进一步阅读
- 浮点指南：每个程序员应该知道浮点算术，或者，为什么我的数字不加起来？ （floating-point-gui.de）
- 计算机科学家应该知道什么是浮点运算 （Goldberg 1991）
- IEEE双精度浮点格式 （Wikipedia）
- 浮点算术：问题和局限性 （docs.python.org）
- 浮点二进制
这不是一个完整的答案（ mhlester已经涵盖了很多好的基础，我不会重复），但是我想强调一个数字的表示取决于你所在的基数。
考虑2/3分数
在良好的基础10，我们通常把它写成类似的东西
- 0.666 …
- 0.666
- 0.667
当我们查看这些表示时，我们倾向于将它们中的每一个与分数2/3相关联，即使只有第一表示在math上等于分数。 第二个和第三个表示/近似值的误差在0.001的数量级上，实际上比9.2和9.1999999999999993之间的误差差得多。 事实上，第二个表示甚至不是正确的圆整！ 尽pipe如此，我们对于2/3的近似值0.666没有任何问题， 所以我们在大多数程序中如何近似9.2应该没有问题 。 （是的，在一些程序中很重要。）
数字基地
所以这里的数字基地是crutial。 那么，如果我们试图以3比3代表2/3
（2/3） 10 = 0.2 3
换句话说，我们有一个确切的，有限的表示相同的数字切换基地！ 即使你可以将任何数字转换成任何基数， 所有的有理数在某些基数上都有确切的有限表示，但是在其他基数上却没有 。
为了把这一点带回家，让我们看看1/2。 这可能会让你感到惊讶，即使这个非常简单的数字在基数10和2中有精确的表示，它需要在基数3中重复表示。
（1/2） 10 = 0.5 10 = 0.1 2 = 0.1111 … 3
为什么浮点数不准确？
因为它们往往是近似于基数2（数字重复）无法有限表示的合理性，并且通常它们近似于在任何基数中可能无法表示的实数（可能无理数）。
虽然所有其他的答案都很好，但还是有一点缺失：
精确地表示无理数（例如π， sqrt(2) ， log(3)等）是不可能的！
而这实际上就是为什么他们被称为非理性。 世界上没有多less位存储就足以保存其中的一个。 只有符号算术能够保持其精度。
虽然如果你将math的需求限制在理性的数字上，那么只有精度的问题变得易于处理。 你需要存储一对（可能非常大的）整数a和b来保存分数a/b表示的数字。 所有的算术运算都必须像在高中math中一样在分数上完成（例如a/b * c/d = ac/bd ）。
但是，当涉及pi ， sqrt ， log ， sin等等时，当然还是会遇到同样的麻烦。
TL; DR
对于硬件加速算术，只能表示有限的有理数。 每个不可表示的数字是近似的。 无论系统如何，一些数字（即无理数）都不能被表示。
