Monads作为附件
我一直在阅读有关monad的分类理论。 单子的一个定义使用一对伴随函数。 单子是通过使用这些函数的往返来定义的。 显然附加类在分类理论中是非常重要的，但是我还没有看到Haskell monads在伴随函数方面的任何解释。 有没有人给它一个想法？
编辑 ：只是为了好玩，我打算这样做的权利。 原始答案保存在下面
目前的category-extras的附加代码在附件包中： http : //hackage.haskell.org/package/adjunctions
我只是明确而简单地通过状态monad。 此代码使用来自变换器包的Data.Functor.Compose ，但是是其他自包含的。
f（D→C）和g（C→D）之间的一个连接点写成f – | 克，可以用多种方式来表征。 我们将使用counte / unit（epsilon / eta）描述，它给出了两个自然变换（仿函数之间的态射）。
class (Functor f, Functor g) => Adjoint fg where counit :: f (ga) -> a unit :: a -> g (fa)
请注意，议会中的“a”实际上是C中的身份函子，单位中的“a”实际上是D中的身份函子。
我们也可以从counte / unit定义中恢复hom-set的附属定义。
phiLeft :: Adjoint fg => (fa -> b) -> (a -> gb) phiLeft f = fmap f . unit phiRight :: Adjoint fg => (a -> gb) -> (fa -> b) phiRight f = counit . fmap f
无论如何，我们现在可以从我们的单位/议会联盟中定义一个Monad，如下所示：
instance Adjoint fg => Monad (Compose gf) where return x = Compose $ unit x x >>= f = Compose . fmap counit . getCompose $ fmap (getCompose . f) x
现在我们可以实现（a，）和（a – >）之间的经典关系：
instance Adjoint ((,) a) ((->) a) where -- counit :: (a,a -> b) -> b counit (x, f) = fx -- unit :: b -> (a -> (a,b)) unit x = \y -> (y, x)
现在是一个types的同义词
type State s = Compose ((->) s) ((,) s)
如果我们用ghci加载它，我们可以证实国家恰恰是我们经典的国家单子。 请注意，我们可以采取相反的组合，并得到Costate Comonad（又名商店comonad）。
还有一些其他的辅助手段（比如（Bool，Pair）），我们可以把它们变成单子，但它们却是一些奇怪的单子。 不幸的是，我们不能以愉快的方式直接在Haskell中引发Reader和Writer。 我们可以做Cont，但是正如copumpkin所描述的那样，它需要来自相反类别的一个连接，所以它实际上使用了“Adjoint”typestypes的一个不同的“forms”，它颠倒了一些箭头。 这种forms也在辅助包中的不同模块中实现。
Derek Elkins在“Monad Reader 13 – 用分类理论计算Monad”中的文章以不同的方式介绍了这种材料： http : //www.haskell.org/wikiupload/8/85/TMR-Issue13.pdf
另外，Hinze最近的Kan扩展程序优化论文从Mon和Set之间的连接中逐步构build了list monad： http : //www.cs.ox.ac.uk/ralf.hinze/Kan.pdf
老答案：
两个参考。
1）类别附加服务一如既往地提供辅助表示，以及如何从它们中产生monad。 像往常一样，这是很好的想法，但很轻的文档： http : //hackage.haskell.org/packages/archive/category-extras/0.53.5/doc/html/Control-Functor-Adjunction.html
2）-Cafe也提供了一个有前途但简短的讨论副作用的讨论。 其中一些可能有助于解释类别附加说明： http : //www.haskell.org/pipermail/haskell-cafe/2007-December/036328.html
德里克·艾尔金斯（Derek Elkins）最近在晚餐中向我展示了如何通过组合(_ -> k)逆变函数与自身的联系，因为它碰巧是自伴的。 这就是你从(a -> k) -> k中得到的。 然而，它的议会导致双重否定消除，这在Haskell中是不能写的。
对于一些Agda代码来说明和certificate这一点，请参阅http://hpaste.org/68257 。
这是一个古老的线索，但我觉得这个问题很有趣，所以我自己做了一些计算。 希望巴托斯仍然在那里，可能会读这..
事实上，艾伦贝格 – 摩尔build筑在这种情况下确实给出了一个非常清晰的图景。 （我将用类似于Haskell的CWM符号语法）
设T是单子< T,eta,mu > （ eta = return和mu = concat ），并考虑T代数h:T a -> a 。
（请注意， T a = [a]是一个自由幺半群<[a],[],(++)> ，即identity []和multiplication (++) 。
根据定义， h必须满足hT h == h.mu a和h.eta a== id 。
现在，一些简单的图表certificate了h实际上是在一个（由x*y = h[x,y]定义的）上诱导出一个monoid结构，并且h成为这个结构的幺半群同态。
相反，在Haskell中定义的任何幺半群结构< a,a0,* >自然被定义为一个T-代数。
以这种方式（ h = foldr ( * ) a0 ，一个用(*)替代(:)的函数，以及将[]映射到a0的函数）。
因此，在这种情况下，T代数的范畴就是Haskell，HaskMon中定义的幺半群结构范畴。
（请检查T代数中的态射实际上是幺半群同态。）
它还将HaskMon中的列表表示为通用对象，就像Grp中的免费产品，CRng中的多项式环等一样。
对应于上述结构的辅助是< F,G,eta,epsilon >
哪里
-
F:Hask -> HaskMon，它对a生成的自由monoid采用typesa，即[a]， -
G:HaskMon -> Hask，健忘函数（忘记乘法）， -
eta:1 -> GF，由\x::a -> [x]定义的自然转换， -
epsilon: FG -> 1，由上面折叠函数定义的自然变换（从一个自由幺半群到其商幺半群的“正则投射”），
接下来，还有另一个“Kleisli类别”和相应的附件。 你可以检查它是否是types为a -> T b的Haskelltypes，其组成由所谓的“Kleisli组合” (>=>) 。 一个典型的Haskell程序员会发现这个类更熟悉。
最后，如CWM所示，T代数（Kleisli类别）的类别在适当的意义上成为定义列表单子T的类别中的terminal（或初始）对象。
我build议为二叉树函子T a = L a | B (T a) (T a)做一个类似的计算 T a = L a | B (T a) (T a)检查你的理解。
我发现了Eilenberg-Moore的任何monad的附加函数的标准构造，但我不确定是否增加了对这个问题的洞察力。 第二类是T-algebras。 AT代数将“产品”添加到最初的类别。
那么对于monad列表来说它将如何工作呢？ 列表monad中的函数由一个types构造函数组成，例如Int->[Int]和函数映射（例如，映射到列表的标准应用程序）。 代数添加了从列表到元素的映射。 一个例子是添加（或相乘）整数列表的所有元素。 函数F采用任何types，例如Int，并将其映射到在Int列表上定义的代数，其中产品由一元连接定义（反之亦然，连接定义为产品）。 健忘的函子G代数并忘记了产品。 然后使用伴随函数的F ， G对以通常的方式构造单子。
我必须说我不聪明。
如果你有兴趣，下面是关于Monad和辅助函数在编程语言中的作用的非专家的一些想法：
首先，对于给定的monad T ，存在对T的Kleisli范畴的唯一连接。 在Haskell中，monads的使用主要局限于这一类的操作（这本质上是一个自由代数的范畴，没有商）。 实际上，Haskell Monad所做的一切都是通过使用doexpression式(>>=)等组成一些types为a->T b Kleisli态射来创build一个新的态射。 在这种情况下，monad的作用仅限于记号的经济性。一种利用态射的联想性能够写（比如说） [0,1,2]而不是(Cons 0 (Cons 1 (Cons 2 Nil))) ，也就是说，你可以写序列而不是树。
即使使用IO monads也不是必需的，因为现在的Haskelltypes系统足够强大，可以实现数据封装（存在types）。
这是我对你原来的问题的回答，但是我很好奇Haskell的专家对此有何评论。
另一方面，正如我们已经注意到的，单子和（T）代数的附加之间也有1-1对应关系。 在MacLane的术语中，伴随是“expression类别的等价方法”。 在一个典型的辅助设置中， F是一个“自由代数生成器”，G是一个“健忘函子”，相应的monad将（通过使用T代数）描述（以及何时）在X的对象上构造A的代数结构。
在Hask和单子T的情况下， T引入的结构是monoid的结构，这可以通过单子的理论提供的代数方法来帮助我们build立代码的性质（包括正确性）。 例如，只要<a,(*),e>是一个monoid，函数foldr (*) e::[a]->a就可以很容易地被看作是一个关联操作，这个事实可以被编译器来优化计算（例如通过并行）。 另一个应用是使用分类方法在函数式编程中识别和分类“recursion模式”，希望（部分地）处理“函数式编程的转向”Y（任意recursion组合）。
显然，这种应用是类别理论（MacLane，Eilenberg等）创造者的主要动机之一，即build立类别的自然等价性，并将一个着名的方法转化为另一个类别（例如拓扑空间的同调方法，编程的代数方法等）。 在这里，伴随物和单体是利用这些类别连接的不可或缺的工具。 （顺便说一下，单子（及其双子，共同子）的概念是如此笼统，以至于甚至可以定义哈斯克尔types的“同调”。但我还没有给出一个想法。）
至于你提到的非决定性的function，我还有很多话要说…但是请注意， 如果某个类别A <F,G>:Hask->A定义了列表单元T ，则必须有一个唯一的“比较函子” K:A->MonHask （Haskell中可定义的单K:A->MonHask类别） 。 实际上，这意味着您的兴趣类别必须是某种受限forms的monoids类别（例如，它可能缺less一些商数，而不是自由代数）以便定义列表monad。
最后，有一些评论：
我在上T a1 .. an = T1 T11 .. T1m | ...文章中提到的二叉树函子很容易推广到任意数据typesT a1 .. an = T1 T11 .. T1m | ... T a1 .. an = T1 T11 .. T1m | ... 也就是说，Haskell中的任何数据types自然都定义了monad（连同相应的代数类别和Kleisli类别），这只是Haskell中任何数据构造函数的总和。 这就是为什么我认为Haskell的Monad类不仅仅是语法糖（当然这在实践中非常重要）的另一个原因。
