好的例子，文章，用于理解dynamic规划的书籍
我不知道dynamic编程的原理，我真的很想要它。 DP非常强大，它可以解决这样的问题：
从数字的差异中获得尽可能低的总和
那么，你能否给我build议好的书籍或文章 （最好是带有真实代码的例子），这将解释什么是dynamic规划？ 我真的想要简单的例子，然后我继续前进。
dynamic规划是一种有用的algorithmtypes，可以通过将问题分解为更小的子问题来优化难题。 通过存储和重新使用部分解决scheme，它可以避免使用贪婪algorithm的缺陷。 dynamic编程有两种，分别是自下而上和自上而下。
为了使用dynamic规划解决问题，该问题必须具有所谓的最佳子结构的属性。 这意味着，如果问题被分解成一系列的子问题，并find每个子问题的最优解，那么通过解决这些子问题就可以实现最终的解决scheme。 dynamic编程无法解决没有这种结构的问题。
自顶向下
自上而下比较熟悉的是memoization 。 这是存储过去的计算，以避免每次重新计算的想法。
给定一个recursion函数，说：
fib(n) = 0 if n = 0 1 if n = 1 fib(n - 1) + fib(n - 2) if n >= 2 我们可以很容易地从mathformsrecursion地写出如下：
function fib(n) if(n == 0 || n == 1) n else fib(n-1) + fib(n-2)
现在，任何一个编程了一段时间，或者对algorithm效率知道一两件事情的人都会告诉你，这是一个糟糕的主意。 原因是，在每一步，你都必须重新计算fib（i）的值，其中i是2..n-2。
一个更有效的例子是存储这些值，创build一个自顶向下的dynamic编程algorithm。
m = map(int, int) m[0] = 0 m[1] = 1 function fib(n) if(m[n] does not exist) m[n] = fib(n-1) + fib(n-2)
通过这样做，我们最多计算一次fib（i）。
自下而上
自下而上使用与自上而下使用的记忆相同的技术。 不同的是，自下而上使用被称为复发的比较子问题来优化您的最终结果。
在大多数自下而上的dynamic规划问题中，您经常试图最小化或最大化决策。 在任何给定的位置给予两个（或更多）选项，您必须决定哪个更适合您要解决的问题。 但是，这些决定是基于您以前的select。
通过在每个点（每个子问题）做出最佳决策，确保您的总体结果是最优的。
这些问题中最困难的部分是find解决问题的重复关系。
为了支付一堆algorithm教科书，你计划抢劫一个有n件物品的商店。 问题是，你的小背包只能容纳最多W公斤。 知道每件商品的重量（w [i]）和价值（v [i]），你想要最大限度地提高被赃物的价值，这些商品的重量至多为W.对于每件商品，你必须做出二元select – 要么接受，要么离开它。
现在，你需要find这个子问题。 作为一个非常聪明的小偷，你意识到一个给定项目i的最大值可以表示为m [i，w]。 另外，m [0，w]（最大权重w的0项）和m [i，0]（i权重为0的项）总是等于0值。
所以，
m[i, w] = 0 if i = 0 or w = 0
如果你的袋子里装满了重量不够的物品，除非你的重量小于或等于你的最大重量和袋子的当前重量。 另一个你可能想要考虑一个项目的情况是，如果它的包中物品的重量小于或等于这个物品的重量，那么它的价值就更大了。
m[i, w] = 0 if i = 0 or w = 0 m[i - 1, w] if w[i] > w max(m[i - 1, w], m[i - 1, w - w[i]] + v[i]) if w[i] <= w
这些是上述的再现关系。 一旦你有这些关系，编写algorithm是非常简单的（和简短！）。
v = values from item1..itemn w = weights from item1..itemn n = number of items W = maximum weight of knapsack m[n, n] = array(int, int) function knapsack for w=0..W m[0, w] = 0 for i=1 to n m[i, 0] = 0 for w=1..W if w[i] <= w if v[i] + m[i-1, w - w[i]] > m[i-1, w] m[i, w] = v[i] + m[i-1, w - w[i]] else m[i, w] = m[i-1, w] else m[i, w] = c[i-1, w] return m[n, n]
其他资源
- algorithm介绍
- 编程挑战
- algorithmdevise手册
示例问题
幸运的是， 在竞争性编程方面，dynamic编程已经成为现实。 查看UVAJudge上的dynamic规划，了解一些实践问题，这些问题将testing您实现和查找dynamic规划问题的重现的能力。
简而言之，dynamic规划是一种解决复杂问题的方法，将问题分解为更简单的步骤，即逐步解决问题。
- dynamic编程 ;
- dynamic规划简介
- 麻省理工学院的algorithm导论，第15讲：dynamic规划 ;
- algorithmdevise （书）。
我希望这个链接至less有一点帮助。
从…开始
- 维基百科有关dynamic编程的文章
- 我build议你在topcoder阅读这篇文章
- ch6关于algorithm中的dynamic规划 （Vazirani）
- algorithmdevise手册中的dynamic编程章节
- algorithm经典书籍dynamic规划篇（algorithm导论 ）
如果你想testing自己，我对网上评委的select是
- Uvadynamic编程问题
- Timusdynamic编程问题
- Spojdynamic编程问题
- TopCoderdynamic编程问题
而且当然
- 看看algorithmist dynamic编程的类别
你也可以检查好的大学algorithm课程
- Aduni（algorithm）
- 麻省理工学院（介绍algorithm（第15章））
毕竟，如果你不能解决问题，那么在这里存在很多algorithm成瘾者
见下文
上面的文章中有太多的样本和文章参考。
在学习dynamic编程之后，你可以通过解决UVA问题来提高你的技能，在UVA的讨论板上有一些UVAdynamic编程问题的列表
维基也有一个很好的简单样本。
编辑：关于它的书algorithm，你可以使用：
- Pythonalgorithm：掌握Python语言中的基本algorithm ：在本书中，您可以看到使用DP的实际工作。
- algorithm介绍 ：描述本书完成algorithm最简单的方法。
你也应该看看dynamic编程中的Memoization 。
我认为代数dynamic规划值得一提。 这是相当鼓舞人心的展示DP技术，并广泛应用于生物信息学界。 而且，贝尔曼的最优性原则是以非常易懂的方式陈述的。
传统上，DP是通过示例来教导的：algorithm是根据存储解决scheme到中间问题的表条目之间的重复来build立的，从这个表格中可以通过一些案例分析来构build整体解决scheme。
ADP组织DPalgorithm，使问题分解成子问题和案例分析完全与预期的优化目标分离。 这允许重复使用和组合DPalgorithm的不同部分来解决类似的问题。
ADPalgorithm中有三个松散耦合的部分：
- build立search空间（用树语法表示）;
- 评分search空间的每个元素;
- 目标函数select那些我们感兴趣的search空间元素。
所有这些部分然后自动融合在一起产生有效的algorithm。
这篇USACO文章是了解DP的基本知识以及如何提高速度的一个很好的起点。 然后看看这个TopCoder的文章 ，其中也包括基础知识，但没有写得很好。 CMU的这个教程也很不错。 一旦你明白了这一点，你将需要飞跃2D 2D来解决你所指的问题。 通过这个Topcoder文章阅读，并包括苹果问题（标记为中间）。
你也可能会发现看这个麻省理工学院video讲座很有用，这取决于你从video中挑选的东西。
另外请注意，在成功获取DP之前，您需要掌握recursion。 DP 很难 ！ 但真正困难的部分是看到解决scheme。 一旦你理解了DP的概念（上面应该给你的），并且你给出了一个解决scheme的草图（例如我的回答你的问题，那么它真的不难以应用，因为DP解决scheme通常是非常简洁并且不会与易于理解的recursion解决scheme的迭代版本相差太远。
你也应该看一下记忆 ，有些人会觉得更容易理解，但它往往和DP一样有效。 简要解释一下，memoization采用recursion函数并caching其结果，以保存将来针对相同参数重新计算结果。
dynamic规划只能解决一些问题
由于没有人提到过，所以dynamic编程解决scheme所需要的属性是：
- 重叠的子问题。 必须有可能将原来的问题分解成多个子问题，使得一些子问题不止一次出现。 DP优于简单recursion的优点是每个子问题只能解决一次 ，并且必要时保存和重用结果。 换句话说，DPalgorithm交换内存的时间。
- 最佳的子结构。 只能使用子问题的最优解来计算子问题的最优解。 validation这个属性持有可能需要一些仔细的思考。
示例：全对最短path
作为DPalgorithm的典型例子，考虑使用Floyd-Warshallalgorithm找出图中所有顶点对之间最短path长度的问题。
假设有n个编号为1到n顶点。 尽pipe我们有兴趣计算函数d(a, b) ，即顶点a和b之间最短path的长度，但很难find一种方法从函数d()其他值有效地计算出来。
让我们引入第三个参数c ，将d(a, b, c)定义为a和b之间最短path的长度，它只访问范围1到c之间的顶点。 （它不需要访问所有的顶点）虽然这看起来像是一个无意义的约束，但是注意到我们现在有如下关系：
d(a, b, c) = min(d(a, b, c-1), d(a, c, c-1) + d(c, b, c-1))
上面min()的两个参数显示了两个可能的情况。 从a到b只使用顶点1到c的最短path：
- 避免
c（在这种情况下，它与仅使用第一个c-1顶点的最短path相同），或者 - 通过
c。 在这种情况下，此path必须是从a到c的最短path，接着是从c到b的最短path，两个path都被限制为仅访问范围为1到c-1之间的顶点。 我们知道，如果这种情况（通过c）更短，那么这两个path不能访问任何相同的顶点，因为如果他们这样做，它会缩短它们之间的所有顶点（包括c），所以情况1会已被挑选出来。
这个公式满足最优的子结构性质 – 只需要知道子问题的最优解就可以find最大的问题的最优解。 （ 不是所有的问题都有这个重要的属性 – 例如，如果我们想要find所有顶点对之间的最长path，这个方法就会崩溃，因为从a到c的最长path可能访问从c到b 。）
知道上面的函数关系，以及d(a, b, 0)等于a和b之间的边的长度的边界条件（或者如果没有这样的边存在，则为无穷大），可以计算d(a, b, c) ，从c=1开始，直到c=n 。 d(a, b, n)是a和b之间的最短距离，它可以访问两者之间的任何顶点 – 我们正在寻找的答案。
几乎所有的入门algorithm书籍都有一些dynamic编程的章节。 我build议：
- algorithm介绍 Cormen等人
- algorithm介绍： Udi Manber 创造性的方法
如果你想了解algorithm，我发现麻省理工学院有一些相当优秀的讲座video。
例如， 6.046J / 18.410Jalgorithm简介（SMA 5503）看起来相当不错。
本课程涵盖了dynamic编程以及其他许多有用的algorithm技术。 我个人认为所用的书也非常出色，非常值得认真学习algorithm。
另外，课程还附带一份作业清单等，这样你也可以在实践中运用这个理论。
相关问题：
作为信函math硕士的一部分，我做了一个基于这本书的课程http://www.amazon.co.uk/Introduction-Programming-International-mathematics-computer/dp/0080250645/ref=sr_1_4?ie=UTF8&qid=1290713580&sr = 8-4它的确是一个mathangular度，而不是一个编程的angular度，但是如果你能省时间和精力，这是一个非常彻底的介绍，这似乎对我来说是一个课程，运行了很多书。
我还有Sedgewick的“algorithm”一书的早期版本，里面有一个关于dynamic编程的非常可读的简短章节。 他现在似乎出售了一堆令人眼花缭乱的昂贵书籍。 看着亚马逊，似乎有一个同名的章节http://www.amazon.co.uk/gp/product/toc/0201361205/ref=dp_toc?ie=UTF8&n=266239
麻省理工学院开放式课程6.00计算机科学与编程概论
如果您尝试dynamic编程来解决问题，我想您会明白其背后的概念。 在Google codejam中，一旦参与者获得了一个名为“ 欢迎使用CodeJam ”的程序，就可以很好地展示使用dynamic编程。
