在C＃整数运算中，a / b / c总是等于a /（b * c）？
令a，b和c为非大正整数。 用C＃整数运算，a / b / c总是等于a /（b * c）吗？ 对我来说，在C＃中看起来像：
int a = 5126, b = 76, c = 14; int x1 = a / b / c; int x2 = a / (b * c); 所以我的问题是：所有的a，b和c的x1 == x2 ？
让\表示整数除法（两个int s之间的C＃ /运算符）并让/表示通常的math除法。 那么，如果x,y,z是正整数 ，我们忽略溢出 ，
(x \ y) \ z = floor(floor(x / y) / z) [1] = floor((x / y) / z) [2] = floor(x / (y * z)) = x \ (y * z)
哪里
a \ b = floor(a / b)
从上述行[1]到行[2]的跳转说明如下。 假设你有两个整数a和b和一个在[0, 1)范围内的分数f 。 这是直截了当的看到这一点
floor(a / b) = floor((a + f) / b) [3]
如果在行[1]确定a = floor(x / y) ， f = (x / y) - floor(x / y)和b = z ，则[3]意味着[1]和[2]是平等的。
你可以将这个certificate推广到负整数（仍然忽略溢出 ），但是我会留给读者来保持简单。
关于溢出问题 – 请参阅Eric Lippert的解答！ 他还在博客文章和回答中采取了更为严格的方法，如果您觉得自己太过于手工，应该考虑一下。
我非常喜欢这个问题，于2013年6月4日成为我博客的主题。 感谢您的好问题！
大案件很容易来。 例如：
a = 1073741823; b = 134217727; c = 134217727;
因为b * c溢出到一个负数。
我会补充一点，在检查算术中 ， a / (b * c)和(a / b) / c之间的差异可以是工作的程序和崩溃的程序之间的差异。 如果b和c的乘积溢出了整数的范围，那么前者将在检查的上下文中崩溃。
对于小的正整数，比如说小到可以放入空格中，就应该保持身份。
蒂莫西·希尔斯只是张贴了一个certificate 我在这里提出一个替代的certificate。 假设这里所有的数字都是非负整数，并且没有任何操作溢出。
x / y整数除法find值q ，使得q * y + r == x ，其中0 <= r < y 。
所以划分a / (b * c)find值q1
q1 * b * c + r1 == a
其中0 <= r1 < b * c
( a / b ) / c首先find这样的值qt
qt * b + r3 == a
然后find这样的值q2
q2 * c + r2 == qt
所以用qt代替，我们得到：
q2 * b * c + b * r2 + r3 == a
其中0 <= r2 < c和0 <= r3 < b 。
两件相同的东西是相等的，所以我们有
q1 * b * c + r1 == q2 * b * c + b * r2 + r3
假设q1 == q2 + x为某个整数x 。 代入并解决x ：
q2 * b * c + x * b * c + r1 = q2 * b * c + b * r2 + r3 x = (b * r2 + r3 - r1) / (b * c)
哪里
0 <= r1 < b * c 0 <= r2 < c 0 <= r3 < b
x可以大于零？ 不，我们有不平等：
b * r2 + r3 - r1 <= b * r2 + r3 <= b * (c - 1) + r3 < b * (c - 1) + b == b * c
所以这个分数的分子总是小于b * c ，所以x不能大于零。
x可以小于零吗？ 不，相似的论点，留给读者。
因此整数x是零，因此q1 == q2 。
如果b和c的绝对值低于sqrt(2^31) （约46 300），那么b * c将永远不会溢出，这些值将始终匹配。 如果b * c溢出，则可以在checked上下文中抛出错误，或者可以在unchecked上下文中获取不正确的值。
避免别人注意到的溢出错误，他们总是匹配。
假设a/b=q1 ，即a=b*q1+r1 ，其中0<=r1<b 。
现在假设a/b/c=q2 ，即q1=c*q2+r2 ，其中0<=r2<c 。
这意味着a=b(c*q2+r2)+r1=b*c*q2+br2+r1 。
为了a/(b*c)=a/b/c=q2 ，我们需要有0<=b*r2+r1<b*c 。
但是根据需要， b*r2+r1<b*r2+b=b*(r2+1)<=b*c ，并且这两个操作匹配。
如果b或c是负数，这是行不通的，但我不知道在这种情况下整数除法是如何工作的。
我会提供我自己的乐趣certificate。 这也忽略了溢出，只能处理积极的不幸的是，但我认为certificate是清晰明了的。
目标是certificate这一点
floor(floor(x/y)/z) = floor(x/y/z)
在哪里/是正常的划分（贯穿这个certificate）。
我们将a/b的商和余数独特地表示为a = kb + r （由此我们表示k,r是唯一的并且也注意到|r| < |b| ）。 那么我们有：
(1) floor(x/y) = k => x = ky + r (2) floor(floor(x/y)/r) = k1 => floor(x/y) = k1*z + r1 (3) floor(x/y/z) = k2 => x/y = k2*z + r2
所以我们的目标是显示k1 == k2 。 那么我们有：
k1*z + r1 = floor(x/y) = k = (xr)/y (from lines 1 and 2) => x/y - r/y = k1*z + r1 => x/y = k1*z + r1 + r/y
因此：
(4) x/y = k1*z + r1 + r/y (from above) x/y = k2*z + r2 (from line 3)
现在从（2）可以看出， r1是一个整数（对于k1*z是一个定义的整数）和r1 < z （也是定义）。 此外从（1）我们知道r < y => r/y < 1 。 现在考虑（4）中的和r1 + r/y 。 要求是r1 + r/y < z并且从前面的权利要求中可以清楚地看出（因为0 <= r1 < z且r1是一个整数，所以我们有0 <= r1 <= z-1因此0 <= r1 + r/y < z ）。 因此根据r1 + r/y = r2的定义r1 + r/y = r2 （否则将会有两个 x/y的余数与余数的定义相矛盾）。 因此我们有：
x/y = k1*z + r2 x/y = k2*z + r2
我们有我们所期望的结论： k1 = k2 。
上面的证据应该与消极的工作，除了几个步骤，你需要检查一个额外的案件（S）…但我没有检查。
计数器示例：INT_MIN / -1 / 2
