C ++中的graphics问题有更好的邻接表或邻接matrix吗？
C ++中的graphics问题有哪些更好的邻接表或邻接matrix？ 每个的优点和缺点是什么？
这取决于问题。
邻接matrix使用O（n * n）存储器。 它有快速查找来检查存在或不存在特定边缘，但在所有边缘上迭代都很慢。
邻接列表使用与数字边缘成比例的内存，如果邻接matrix稀疏，则可以节省大量内存。 遍历所有边是快速的，但是发现存在或缺失特定边比在matrix中稍慢。
这个答案不仅适用于C ++，因为所有提到的内容都是关于数据结构本身的，不pipe语言如何。 而且，我的答案是假定你知道邻接表和matrix的基本结构。
记忆
如果记忆是你最关心的问题，你可以按照这个公式来做一个简单的循环图：
邻接matrix占据n 2/8字节空间（每个条目一位）。
邻接表占据8e空间，其中e是边缘的数量（32位计算机）。
如果我们将图的密度定义为d = e / n 2 （边数除以最大边数），我们可以find列表占用比matrix更多内存的“断点”：
当d> 1/64时， 8e> n 2/8
所以这些数字（仍然是32比特）的断点落在1/64 。 如果密度（e / n 2 ）大于1/64，那么如果你想节省内存， matrix是最好的。
你可以在维基百科 （关于邻接matrix的文章）和其他许多网站上阅读。
注意 ：通过使用一个散列表，可以提高邻接matrix的空间效率，其中的键是顶点对（只有无向）。
迭代和查找
邻接表是仅表示现有边的紧凑方式。 然而，这是以可能慢速查找特定边缘为代价的。 由于每个列表只要顶点的程度，最坏情况下检查特定边的查找时间可以变成O（n），如果列表是无序的。 然而，查找顶点的邻居变得微不足道，对于稀疏或小图，遍历邻接列表的代价可能可以忽略不计。
另一方面，邻接matrix使用更多的空间来提供恒定的查找时间。 由于每个可能的条目都存在，所以可以使用索引在恒定时间内检查是否存在边。 但是，邻居查找需要O（n），因为您需要检查所有可能的邻居。 显而易见的空间缺点是稀疏graphics添加了很多填充。 有关这方面的更多信息，请参阅上面的内存讨论。
如果您仍然不确定要使用什么 ：大多数现实世界的问题会产生稀疏和/或较大的graphics，这些graphics更适合于邻接列表表示。 他们似乎很难实现，但我向你保证他们不是，当你编写一个BFS或DFS，并且想要获取一个节点的所有邻居时，他们只是一行代码。 不过请注意，我并不是普遍推荐邻接列表。
好的，我已经在图表上编制了基本操作的时空复杂性。
下面的图片应该是不言自明的。
注意当我们期望图是密集的时候，邻接matrix是可取的，当我们期望图是稀疏的时候，邻接matrix是如何是可取的。
我做了一些假设。 问我是否需要澄清复杂性（时间或空间）。 （例如，对于一个稀疏图，我已经把En看作是一个小常量，因为我认为添加一个新的顶点只会添加几条边，因为我们期望即使在添加之后图也保持稀疏顶点。）
请告诉我是否有任何错误。
这取决于你在找什么。
使用邻接matrix，您可以快速回答有关两个顶点之间的特定边是否属于图的问题，还可以快速插入和删除边。 缺点是你必须使用过多的空间，特别是对于有许多顶点的图，这是非常低效的，特别是如果你的图是稀疏的。
另一方面，用邻接表来检查一个给定的边是否在一个图中是比较困难的，因为你必须search适当的列表来find边，但是它们更节省空间。
一般而言，邻接表是图的大多数应用的正确的数据结构。
如果你正在用C ++来查看graphics分析的话，那么首先要做的就是boost图库 ，它实现了一些algorithm，包括BFS。
- 提升图表库文档
编辑
上一个关于SO的问题可能会有所帮助：
如何创buildac-boost-undirected-graph-and-traverse-it-in-depth-first-searc h
这是最好的例子回答。
以弗洛伊德 – 沃沙尔为例。 我们必须使用一个邻接matrix，否则algorithm将会渐近地变慢。
或者，如果它是30,000个顶点上的密集图？ 那么邻接matrix可能是有意义的，因为您将每对存储1位顶点，而不是每边16位（您需要用于邻接列表的最小值）：这是107 MB，而不是1.7 GB。
但对于像DFS，BFS（以及像Edmonds-Karp那样使用它的algorithm），优先优先search（Dijkstra，Prim，A *）等algorithm，邻接列表和matrix一样好。 那么matrix可能有一个轻微的边缘时，graphics是密集的，但只有一个不起眼的常数因素。 （多less钱？这是一个试验的问题。）
要添加到keyser5053有关内存使用情况的答案。
对于任何有向图，邻接matrix（每边1位）消耗n^2 * (1)位的内存。
对于完整的图 ，邻接列表（具有64位指针）消耗n * (n * 64)位的存储器，不包括列表开销。
对于不完整的图，邻接列表消耗0位内存，不包括列表开销。
对于邻接列表，可以使用以下公式来确定邻接matrix对于内存最优之前的最大边数（ e ）。
edges = n^2 / s来确定最大边数，其中s是平台的指针大小。
如果graphics是dynamic更新的，则可以使用n / s的平均边数（每个节点）来保持此效率。
一些例子（64位指针）。
对于有向图，其中n是300，使用邻接列表的每个节点的最佳边数是：
= 300 / 64 = 4
如果我们把它插入keyser5053公式中， d = e / n^2 （其中e是总边数），我们可以看到我们低于断点（ 1 / s ）：
d = (4 * 300) / (300 * 300) d < 1/64 aka 0.0133 < 0.0156
然而，一个指针的64位可能是矫枉过正的。 如果您使用16位整数作为指针偏移，我们可以在折点之前将最多18个边合起来。
= 300 / 16 = 18 d = ((18 * 300) / (300^2)) d < 1/16 aka 0.06 < 0.0625
这些例子中的每一个都忽略邻接列表本身的开销（对于一个向量和64位指针来说是64*2 ）。
根据邻接matrix的实现情况，应该早些知道图的“n”以实现有效的实现。 如果图表过于dynamic，并且需要matrix的扩展，那么也可以将其视为一个缺点？
如果使用散列表而不是邻接matrix或列表，那么对于所有操作，您将获得更好或相同的大运行时间和空间（检查边是O(1) ，获得所有相邻边是O(degree)等）。
虽然在运行时和空间上都有一些固定的系数开销（散列表不像链表或数组查找那么快，并且需要额外的空间来减less冲突）。
假设我们有一个有n个节点和m个边的图，
示例图
邻接matrix：我们正在创build一个有n个行和列的matrix，所以在内存中它将占用与n 2成正比的空间。 检查名为u和v的两个节点之间是否有边，将花费Θ（1）次。 例如检查（1，2）是否在代码中看起来如下所示：
if(matrix[1][2] == 1)
如果你想识别所有的边，你必须迭代matrix，这将需要两个嵌套循环，它将需要Θ（n 2 ）。 （你可能只是使用matrix的上三angular部分来确定所有的边，但它会再次Θ（n 2 ））
邻接列表：我们正在创build一个列表，每个节点也指向另一个列表。 您的列表将包含n个元素，每个元素将指向一个列表，其中的项目数等于此节点的邻居数量（查看图像以获得更好的可视化效果）。 所以它会占用与n + m成正比的内存空间。 检查（u，v）是否是一个边将需要O（deg（u））时间，其中deg（u）等于u的邻居数。 因为最多只能遍历u所指向的列表。 识别所有边缘将需要Θ（n + m）。
示例图的邻接列表
你应该根据你的需要做出select。 因为我的名誉，我不能把matrix的形象，对不起
因为其他答案已经涵盖了其他方面，所以我只是想要克服常规邻接列表表示的权衡。
通过利用Dictionary和HashSet数据结构，可以在分段的常量时间内用EdgeExists查询表示邻接列表中的图。 其思想是将顶点保存在一个字典中，并且对于每个顶点我们保持一个散列集引用其边缘的其他顶点。
在这个实现中的一个小的折衷是它将具有空间复杂度O（V + 2E）而不是O（V + E），如在常规邻接列表中一样，因为边在这里被表示两次（因为每个顶点具有它自己的哈希集边缘）。 但是像AddVertex ， AddEdge ， RemoveEdge这样的操作可以在这个实现中的分摊时间O（1）中完成，除了像Vertexmatrix一样采用O（V）的RemoveVertex 。 这意味着除了实现简单邻接matrix之外没有任何特定的优点。 我们可以节省稀疏图上的空间，在这个邻接表实现中几乎具有相同的性能。
有关详细信息，请参阅下面的C＃实现。 请注意，对于加权图，我使用嵌套字典而不是字典 – 哈希集合组合，以适应加权值。 类似地，对于有向图，存在用于入边和出边的单独的散列集。
- 图（ 实施 | testing ）
- 加权图（ 实施 | testing ）
- DiGraph（ 实现 | testing ）
- 加权图（ 实施 | testing ）
注意：我相信使用懒惰删除我们可以进一步优化RemoveVertex操作为O（1） 分期付款 ，即使我没有testing过这个想法。 例如，在删除时只需将顶点标记为在字典中被删除，然后在其他操作中懒散地清除孤立的边缘。
