在sortingmatrix（行n列）中查找O（log n）
说我有一个matrix（ MxN ）的行和列sorting。
- 每一行中的所有元素按照递增顺序排列
- 每列中的所有元素都按照顺序排列
- 所有元素都是整数
-
没有其他假设可以做出
例：
[1 5 8 20]
[2 9 19 21]
[12 15 25 30]
我必须find一个给定的数字是否存在于matrix中（基本search）。 我有一个algorithm运行O(n)
int row = 0; int col = N-1; while (row < M && col >= 0) { if (mat[row][col] == elem) { return true; } else if (mat[row][col] > elem) { col--; } else { row++; } }
但是我被问到一个O(log (MxN)) == O(Log(n))解决scheme。 有任何想法吗？？
O（log（M * N））解决scheme不适用于此任务。
让我们来看一个简化的任务：在“sorting”matrixmatrix中，假设所有高于次对angular线（绿色）的元素都小于给定数目，次对angular线（红色）以下的所有元素大于给定数目，并且对于次对angular线黄色）。
这个任务的原始假设和这些额外的假设都不能告诉我们二次对angular线上的元素是如何相互关联的。 这意味着我们只有一个N个整数的未sorting数组。 我们无法在无序数组中find比O（N）更快的给定数字。 所以对于matrixmatrix的原始（更复杂）问题，我们不能得到比O（N）更好的解。
对于矩形matrix，拉伸正方形图片并相应地设置其他假设。 这里我们有min（N，M）个大小分别为max（N，M）/ min（N，M）的子数组。 在这里search的最好方法是使用线性search来查找可能包含给定值的一个或多个子数组，然后在这些子数组内使用二进制search。 在最坏的情况下，需要在每个子arrays中进行二进制search。 复杂度为O（min（N，M）*（1 + log（max（N，M）/ min（N，M））））。 因此对于矩形matrix的原始（更复杂）问题，我们不能得到比O（min（N，M）*（1 + log（max（N，M）） – log（min（N，M））） ）。
不可能比O（n）做得更好。 有些人（这个页面上至less有三个人）认为他们可以做得更好，但是这是因为他们的algorithm是错误的，或者因为他们不知道如何计算algorithm的复杂性，所以他们试图猜测它。 这个博客文章非常好，会向你解释这些人的错误。
O（n）是最优的certificate草案：考虑以下matrix：
1 2 3 4 5 6 … (n-2) (n-1) (n+1) 2 3 4 5 6 7 … (n-1) (n+1) (n+2) 3 4 5 6 7 8 … (n+1) (n+2) (n+3) … … … … … … … … … … (n-2) (n-1) … … … … … … … (2n-1) (n-1) (n+1) … … … … … … … 2n (n+1) (n+2) … … … … … (2n-1) 2n (2n+1)
如果你在这个matrix中查找n ，那么如果n在行中，那么每行至less应该检查一次，因为n可以在任何行中。 （certificate不完整，但这是主意）
你必须使用recursion来解决这个问题。 给定matrixX和数字Y，可以在X的中间行进行二分search，并将matrix分成四部分：
A|B --- C|D
A中的所有元素都小于y，D中的所有元素大于y，y可以在B和C中迭代地在B和C中findy。
由于高度（A）=高度（B）\高度（C）=高度（D），尺寸（X）> = 2 *（尺寸（B）+尺寸（C））。 所以由此产生的复杂性如果O（logn）。
def find(X,y): a,b = X.shape i = a /2 j = binsearch(X[i,:], y) if X[i,j]==y: return True else: return find( X[ (i+1):a, 0:(j-1)], y ) or find( X[ 0:i, j:b], y )
由于行和列都是sorting的，所以如果我们查看每一行的第一个元素，我们可以find哪一个包含我们要查找的数字。 然后，再次，我们可以利用每行中的元素进行sorting并find该数字的事实。
我所知道的最快的searchalgorithm是二进制search，其复杂度为O（log n），所以总的复杂度为O（log m + log n）。
这里有一个例子，假设我们正在寻找28：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
- 我们对第一列（1，11，21，31，41）的元素进行二分search，发现该行是第三行，因为它的第一个元素小于我们的数字， 但下一行的第一个元素更大。 步数：2 （21,31，find）
- 我们在第三行（21,22,23,24,25,26,27,28,29,30）再次进行二分search，find我们的号码。 步数：2 – 3 （25,27或28，find）
我认为这可以在O（log（n * n）* log（n））时间完成，其中n是否。 正方形matrix的行。
根据matrix的性质，matrix的主对angular线是一个有序的数组。 因此，我们可以在O（log（n））中search一个元素或其下界。 现在，使用这个元素作为枢轴，我们有4个子matrix。 可以说子matrix（左上）中的所有元素都较小，子matrix（右下）中的所有元素都较大。 所以，我们可以从search空间中删除。
现在，在子matrix（右上）和子matrix（左下）中进行recursionsearch。
因为在每一步，我们执行log（n）search（沿着主对angular线）广告可以有最近的log（n * n）步骤（因为我们在每一步中减less了一半的search空间）。
所以，时间复杂度= O（log（n） log（n n））。
如有任何错误，请纠正。
Refrences – [图书]破解编码面试（问题11.6）
