为什么四元数用于旋转？
我是一名物理学家，一直在学习一些编程知识，并且遇到了很多使用四元数旋转的人，而不是用matrix/vectorforms写东西。
在物理学中，我们没有使用四元数有很好的理由（尽pipe偶尔讲述关于汉密尔顿/吉布斯等的奇怪故事）。 物理学要求我们的描述具有良好的分析行为（这有一个精确定义的含义，但是在某些技术方面远远超出了正常介绍类的教导，所以我不会详细讨论）。 事实certificate，四元数不具有这种好的行为，所以它们没有用，vector/matrix做，所以我们使用它们。
然而，受限于不使用任何分析结构的刚性旋转和描述，三维旋转可以用任何方式（或其他几种方式）等效描述。
通常，我们只需要一个点X =（x，y，z）到一个新的点X'=（x'，y'，z'）的映射，受X 2 = X'2的限制。 还有很多事情是这样做的。
天真的方法是画出三angular形，并使用三angular函数，或者使用点（x，y，z）和vector（x，y，z）之间的同构和函数f（X）= X'和（x，y，z） T （a，b，c）（x'，y'，…）的matrixMX = X'，或者使用四元数，或者沿着新的vector投影出旧vector的分量。 z'）等
从math的angular度来看，这些描述在这个环境中是等价的（作为一个定理）。 他们都有相同数量的自由度，相同数量的限制等等。
那么，为什么四元数似乎更偏向于vector？
我看到的常见原因是没有万向节锁或数字问题。
没有万向节锁的说法似乎很奇怪，因为这只是一个欧拉angular的问题。 这也只是一个坐标问题（就像极坐标中r = 0的奇点（雅可比行列式）），这意味着它只是一个局部问题，可以通过切换坐标，旋转退化，或者使用两个重叠的坐标系。
我对数字问题不太确定，因为我不清楚这些（以及其他方法）是如何实施的。 我已经读过，重新归一化四元数比旋转matrix更容易，但这只适用于一般matrix; 一个旋转具有额外的约束，这个约束（这是四元数定义内置的）（事实上，这是必须的，因为它们具有相同的自由度）。
那么，四元数使用vector或其他select的原因是什么？
万能锁是一个原因，虽然你说这只是一个欧拉angular的问题，很容易解决。 内存是一个问题，因为你只需要存储3个数字，欧拉angular仍然使用。
对于四元数与3×3旋转matrix，四元数在尺寸上（4个标量对9个）和速度（四元数乘法比3×3matrix乘法快得多）具有优势。
请注意， 所有这些旋转的表示都在实践中使用。 欧拉angular使用最less的记忆; matrix使用更多的记忆，但不受万向锁的影响，具有很好的分析性能; 而四元素打击了两者之间的一个很好的平衡，轻量级，但免费万向锁。
在物理学中，我们没有使用四元数有很好的理由（尽pipe偶尔讲述关于汉密尔顿/吉布斯等的奇怪故事）。 物理学要求我们的描述具有良好的分析行为（这有一个精确定义的含义，但是在某些技术方面远远超出了正常介绍类的教导，所以我不会详细讨论）。 事实certificate，四元数不具有这种好的行为，所以它们没有用，vector/matrix做，所以我们使用它们。
那么我也是一个物理学家呢 而有些情况下四元数只是简单的摇滚！ 例如球面谐波。 你有两个primefaces散射，交换电子：什么是轨道自旋转移？ 对于四元数，它只是乘法，即总结SH基函数的指数表示为四元数。 （把Legendre多项式变成四元数符号虽然有点乏味）。
但我同意，他们不是一个普遍的工具，特别是在刚体力学，他们将是非常麻烦的使用。 然而，引用伯特兰·罗素（Bertrand Russell）的话来回答一个学生，一个物理学家需要知道多lessmath： “尽可能多！”
无论如何：为什么我们喜欢计算机graphics学中的四元数？ 因为他们有一些吸引人的属性。 首先可以很好地插入它们，如果是旋转的东西，比如关节周围的肢体，这是非常重要的。 用四元数就是标量乘法和标准化。 用matrix表示需要评估sin和cos，然后build立一个旋转matrix。 然后，将一个向量与一个四元数相乘，在经历一个完整的向量 – matrix乘法时仍然更便宜，如果之后再添加一个平移，它也会更便宜。 如果考虑人类angular色的骨骼animation系统，那么必须为大量的顶点评估大量的平移/旋转，这会产生巨大的影响。
使用四元数的另一个好的副作用是，任何变换本质上是正交的。 对于平移matrix，由于数字舍入误差，必须对每一对animation步骤重新进行正交归一化处理。
没有万向节锁的说法似乎很奇怪，因为这只是一个欧拉angular的问题。 这也只是一个坐标问题（就像极坐标中r = 0的奇点（雅可比行列式）），这意味着它只是一个局部问题，可以通过切换坐标，旋转退化，或使用两个重叠的坐标系统。
许多3D应用程序，如使用欧拉angular来定义对象的方向。 特别是对于飞行模拟，它们代表了一种理论上有用的方式，以便于修改的方式存储方向。
您还应该意识到，“切换坐标，退出简并，或使用两个重叠的坐标系”等都需要付出努力。 努力意味着代码。 代码意味着性能。 当你不需要的时候丢失性能对许多3D应用来说不是一件好事。 毕竟，所有这些技巧都可以得到，只要使用四元数就可以得到所需的一切。
我对数字问题不太确定，因为我不清楚这些（以及其他方法）是如何实施的。 我已经读过，重新归一化四元数比旋转matrix更容易，但这只适用于一般matrix; 一个旋转具有额外的约束，这个约束（这是四元数定义内置的）（事实上，这是必须的，因为它们具有相同的自由度）。
处理方向的多个连续旋转时出现数字问题。 想象一下你在太空中有一个物体。 而且每一个时间片，你都可以稍稍改变一下偏航。 每次更改后，您都需要重新校准方向; 否则，精度问题将蔓延，并搞砸了。
如果你使用matrix，每次你做matrix乘法，你必须重新正交matrix。 你正在正交化的matrix还不是一个旋转matrix，所以我不太确定这个简单的正交归一化。 不过，我可以肯定这一点：
它不会像四维vector归一化一样快。 这就是四元数在连续旋转后用来正常化的原因。
四元数正常化便宜。 即使专门的旋转matrix标准化也不会那么便宜。 表演很重要。
另外还有一个问题是matrix不容易做到：在两个不同的方向之间进行插值。
处理3Dangular色时，通常会有一系列的变换来定义angular色中每个骨骼的位置。 骨骼层次结构代表特定姿势中的angular色。
在大多数animation系统中，为了在特定时间计算字符的姿态，需要在变换之间进行插值。 这需要插入相应的转换。
内插两个matrix是非平凡的。 至less，如果你想要的东西最后类似于旋转matrix。 毕竟，插值的目的是在两个转换之间产生一个中间的东西。
对于四元数，所有你需要的是一个4D的lerp，然后是normalize。 这就是全部：取两个四元数并线性插入组件。 规范化结果。
如果你想要更好的质量插值（有时你可以），你可以带出球形的lerp 。 这使得插值对于更多不同的方向performance得更好。 这个math比四元数困难得多 ，需要更多的matrix运算。
意见：四元数很好。
旋转matrix： 次要缺点 ：matrix的乘法比四元数慢2倍。 次优点 ：matrix向量乘法运算速度快2倍，且大。 巨大的 劣势 ：正常化！ Ghram-Shmit是不对称的，当做微分方程时，它不会给出更高阶的准确答案。 更复杂的方法非常复杂和昂贵。
轴（angular度=轴的长度） 次要优点 ：小。 适度的缺点 ：乘法和应用向量是缓慢的trig。 中等缺点 ：长度方向的北极奇点= 2 * pi，因为所有的轴方向都不起作用。 更多的代码（和debugging），当它接近2pi时自动重新调整它。
一般来说，我们只需要一个点X =（x，y，z）到一个新的点X'=（x'，y'，z'）的映射，受到X ^ 2 = X'^ 2的限制。 还有很多事情是这样做的。
我们绝对不只是想这样做。 有许多人错过了一个非常重要的微妙之处。 你正在讨论的构造（绘制三angular形和使用三angular等）将正确地将一个vector旋转到另一个vector。 但是有无数的旋转会做到这一点。 特别是，我可以在完成旋转之后来到，然后围绕X'向量旋转整个系统。 这根本不会改变X'的位置。 你的旋转和我的组合相当于另一次旋转（因为旋转形成一个组 ）。 一般来说，你需要能够代表任何这样的旋转。
事实certificate，你只需要一个vector就可以做到这一点。 （这是旋转的轴angular表示 ）。但是，在轴angular表示中组合旋转是困难的。 四元数与其他许多事情一起使得它变得容易。 基本上，四元数具有其他表示的所有优点，并没有任何缺点。 （虽然我承认可能有其他一些代表可能更好的具体应用。）
我看到的常见原因是没有灵活的locking或数字问题。
他们是很好的理由。
正如你已经理解的那样，四元数围绕任意轴编码一个单一的旋转，而不是欧拉三维空间中的三个连续旋转。 这使得四元数对万向节locking免疫 。
此外，一些forms的插值变得很好，很容易做，如SLERP 。
…或使用两个重叠的坐标系统。
从性能angular度来看，为什么你的解决scheme更好？
我可以继续下去，但是四元数只是一个可以使用的工具。 如果他们不适合你的需求，那么不要使用它们。
值得注意的是，与旋转相关的所有属性都不是四元数的真正属性：它们是欧拉 – 罗德里格斯参数化的属性，它是用于描述3D旋转的实际4元素结构。
他们与四元数的关系纯粹是由于Cayley的论文“关于与四元数相关的某些结果”，作者观察到四元数乘法与欧拉 – 罗德里格（Euler-Rodrigues）参数组合的相关性。 这使得四元数理论的方面可以应用于旋转的表示，特别是在它们之间进行插值。
您可以在这里阅读论文： https ： //archive.org/details/collmathpapers01caylrich 。 但当时四元数与旋转之间没有联系，而Cayley却惊讶地发现：
实际上，这些公式正好是由M. Olinde Rodrigues Liouville所作的这种转换所提供的，“电视节目”（或“梳理math杂志” iii。第224页[6]）。 在这里先看看这些系数的出现，这将是一个有趣的问题。
然而，四元组没有任何内在的东西给旋转带来好处。 四元数不能避免万向锁; 欧拉罗德里格斯参数做。 非常less的执行旋转的计算机程序可能会真正实现四元数types，它们是一stream的复杂math值。 不幸的是，对四元数angular色的误解似乎已经泄漏出去，造成了不less困惑的graphics学生学习了具有多个虚构常量的复杂math的细节，然后又为什么这样解决了旋转的问题而困惑不解。
根据大卫Hestenes物理学家和工程师不知道如何繁殖载体。 我是一名工程师，在他的几何代数（又名克利福德代数）经过多年的经验之后，我必须承认他是对的。 这个代数以自然的方式代替复数，matrix，张量，四元数等。 如果你愿意学习这方面的知识，那就开始阅读吧。 真的，真的很有趣！
